Schade, daß Du nicht selbst auf die Antwort gekommen bist, aber nett, wie ich nunmal bin, verrate ich Dir ausnahmsweise die Lösung:

Bild zur AufgabeGegeben sei ein beliebiger Punkt in einem gleichseitigen Dreieck. Man beweise: Die Summe der Längen der Lote auf die drei Seiten ist konstant! Wie lautet die Konstante?

Der Rechenweg:

Diese Frage ist etwas umständlich zu rechnen, aber das soll uns ja nicht abhalten:
Also, wir zeichnen von dem Schnittpunkt aus jeweils eine Linie zu den Ecken. Damit teilen wir das gleichseitige Dreieck in 3 kleinere Dreiecke, deren Höhe das jeweilige Lot ist. Über die Fläche dieser Konstruktion wissen wir folgendes:

Fläche(gleichseitiges Dreieck) = Fläche(Dreieck1) + Fläche(Dreieck2) + Fläche(Dreieck3)

Diese Erkenntnis ist nicht gerade Bahnbrechend, bringt uns aber etwas weiter, wenn wir uns die Berechnung der Fläche eines Dreiecks vor Augen führen und dieses Wissen mit der gerade erarbeiteten Formel kombinieren:

Fläche = Grundseite * Höhe / 2

Flächeges = (g * h1 / 2) + (g * h2 / 2) + (g * h3 / 2)

Es fällt auf, daß die Grundseite ohne Index erscheint, aber bei einem gleichseitigen Dreieck sind ja bekanntlich alle 3 Seiten gleichlang, daher, brauchen wir auch keine Unterscheidung zu treffen ;-)

Flächeges = g*h1 + g*h2 + g*h3 g * ( h1 + h2 + h3 )

=

2

2

Nun kann man natürlich diese Betrachtung auch auf das gesamte Dreieck anwenden: Flächeges = g * h / 2

Flächeges = g * ( h1 + h2 + h3 ) g * hges

=

2

2

Wir multiplizieren beide Brüche mit 2, so daß wir nur noch die Zähler betrachen müssen:
g * ( h1 + h2 + h3 ) = g * hges

Wie unschwer zu erkennen ist, kann man die Grundseite mittels Division auf beiden Seiten wegoptimieren:
h1 + h2 + h3 = hges

Was zu beweisen war...

Die Überlegung:

Da diese Eigenschaft gemäß der Fragestellung ja für alle Punkte im Dreieck gilt, kann man natürlich sich auch z.B. eine der Ecken aussuchen - dann werden zwei der 3 Teile auf Null reduziert und es bleibt für den 3 Teil nur die Höhe übrig.


Papagei